Об одной тангенциальной краевой задаче теории поля на плоскости
Аннотация
Настоящая работа посвящена исследованию одной тангенциальной задачи теории поля на плоскости для системы уравнений Пуассона. Особенность задачи состоит в нелокальности граничного условия, налагаемого на искомое решение. Требуется найти слабое решение поставленной задачи.
В связи с нелокальным граничным условием поставленной задачи введено соответствующее пространство функций, среди которых идет поиск решения задачи. В силу инвариантности задачи относительно аддитивной вектор-постоянной поиск решения сужается до пространства функций, имеющих в заданной области среднее интегральное значение равное нулю.
Представлено определение слабого решения поставленной задачи, показана его корректность. Основной результат работы — теорема существования и единственности слабого решения поставленной задачи. Доказательство выполнено в несколько этапов, приведен пример для случая прямоугольной области.
Литература
1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических краевых задачах// Доклады АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739—740.
2. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. Ч. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 26. С. 3—132.
3. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.
4. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.
5. Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции // Современная математика. Фундаментальные направления. 2014. Т. 54. С. 3—138.
6. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983.
7. Pyatkov S.G. Operator Theory of Nonclassical Problems. Utrecht, Boston, Köln, Tokyo: VSP, 2002.
8. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990.
9. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Математический сборник. 1994. № 185(1). С. 121—160.
10. Дубинский Ю.А. О ядрах операторов следа и краевых задачах теории поля // Проблемы математического анализа. 2020. Вып. 106. С. 73—89.
11. Дубинский Ю.А. О ядрах функционалов следа и граничных задачах теории поля на плоскости // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2021. Т. 312. С. 150—161.
12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
13. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996.
---
Для цитирования: Провоторова Л.В. Об одной тангенциальной краевой задаче теории поля на плоскости // Вестник МЭИ. 2022. № 6. С. 167—172. DOI: 10.24160/1993-6982-2022-6-166-172
---
Работа выполнена при поддержке: Российского научного фонда (грант № 19-11-0033)
#
1. Bitsadze A.V., Samarskiy A.A. O Nekotorykh Prosteyshikh Obobshcheniyakh Lineynykh Ellipticheskikh Kraevykh Zadachakh. Doklady AN SSSR. 1969;185;4: 739—740. (in Russian).
2. Skubachevskiy A.L. Neklassicheskie Kraevye Zadachi. Ch. I. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2007;26:3—132. (in Russian).
3. Nakhushev A.M. Nagruzhennye Uravneniya i Ikh Primeneniya. M.: Nauka, 2012. (in Russian).
4. Dezin A.A. Obshchie Voprosy Teorii Granichnykh Zadach. M.: Nauka, 1980. (in Russian).
5. Rossovskiy L.E. Ellipticheskie Funktsional'no-differentsial'nye Uravneniya so Szhatiem i Rastyazheniem Argumentov Neizvestnoy Funktsii. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2014;54:3—138. (in Russian).
6. Vragov V.N. Kraevye Zadachi dlya Neklassicheskikh Uravneniy Matematicheskoy Fiziki. Novosibirsk: Izd-vo NGU, 1989. (in Russian).
7. Pyatkov S.G. Operator Theory of Nonclassical Problems. Utrecht, Boston, Köln, Tokyo: VSP, 2002.
8. Kozhanov A.I. Kraevye Zadachi dlya Neklassicheskikh Uravneniy Nechetnogo Poryadka. Novosibirsk, NGU, 1990. (in Russian).
9. Gushchin A.K., Mikhaylov A.P. O Razreshimosti Nelokal'nykh Zadach dlya Ellipticheskogo Uravneniya Vtorogo Poryadka. Matem. sbornik. 1991;185(1):121—160. (in Russian).
10. Dubinskiy Yu.A. O Yadrakh Operatorov Sleda i Kraevykh Zadachakh Teorii Polya. Problemy Matematicheskogo Analiza. 2020;106:73—89. (in Russian).
11. Dubinskiy Yu.A. O Yadrakh Funktsionalov Sleda i Granichnykh Zadachakh Teorii Polya na Ploskosti. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V.A. Steklova. 2021;312:150—161. (in Russian).
12. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy Teorii Funktsiy i Funktsional'nogo Analiza. M.: Nauka, 1976. (in Russian).
13. Pugachev V.S. Lektsii po Funktsional'nomu Analizu. M.: Izd-vo MAI, 1996. (in Russian).
---
For citation: Provotorova L.V. On One Tangential Boundary Value Problem of the Field Theory on a Plane. Bulletin of MPEI. 2022;6:167—172. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2022-6-166-172
---
The work is executed at support: Russian Science Foundation (Grant No. 19-11-0033)
